Una joven simplifica la suma de los 100 primeros números naturales

Una alumna de 1º de Bachillerato del Instituto Máximo Trueba de la localidad madrileña de Boadilla del Monte, Marta Espejel, ha encontrado un nuevo procedimiento que simplifica la suma de los cien primeros números naturales. Según los profesores del centro el método utilizado por la estudiante es "asombroso".

Según se explica en el blog de matemáticas que gestionan los profesores del centro (http://revistasacitametam.blogspot.com.es/2012/10/suma-asombrosa-de-los-cien-primeros.html) para llevar a cabo esta operación, la alumna escribió en su pizarra los 16 primeros términos, es decir, halló la suma de los dos primeros, de los tres primeros, de los cuatro primeros, y así hasta llegar a la suma de los 16 primeros términos.

A partir de ahí, primero agrupó los resultados de dos en dos y observó que cada uno de los agrupamientos era múltiplo de 2, de 3, de 4 y así sucesivamente. Posteriormente, vió que cada uno de estos resultados se descomponía en  el producto de dos factores. Observó, que en  las sumas con un número impar de términos, uno de esos factores coincidía con el número de términos, de manera que en el resultado de la suma de los 13 primeros términos un factor es el número 13.

El otro factor lo obtuvo dividiendo entre dos la suma del número de términos más la unidad. Así en la serie de 13 términos el otro factor sería (13 + 1 )/2 ) = 7). Entonces, para hallar la suma de los 99 primeros números un factor de esa suma sería  99  y el siguiente (99+1)/2= 50.

Finalmente, la estudiante determinó que lo que daría que la suma de los 99 primeros números naturales es S = 99 · 50 = 4.950. De este modo, añadiendo 100 a este número se obtiene la suma de los 100 primeros números naturales 4.950 + 100 = 5.050.